Aturan Sinus dan Aturan Cosinus Matematika

Kita tahu bahwa, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut adalah sebesar 180°. Untuk segitiga siku-siku, cukup dengan 1 sisi dan 1 sudut (tidak termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui, kita telah dapat menentukan sisi dan sudut lainnya, yaitu dengan menggunakan phythagoras ataupun perbandingan trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya.

Sedangkan untuk segitiga sembarang, minimal dibutuhkan 3 unsur yang diketahui, yaitu
  • sisi, sudut, sudut
  • sudut, sisi, sisi
  • sisi, sisi, sisi
    Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan sinus atau aturan cosinus untuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.

    Perhatikan segitiga berikut !



    sisi di depan sudut A adalah BC = a
    sisi di depan sudut B adalah AC = b
    sisi di depan sudut C adalah AB = c


    Aturan Sinus


    Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan
    A adalah sudut di depan sisi a
    B adalah sudut di depan sisi b
    C adalah sudut di depan sisi c
    berlaku $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}}$$
    Contoh 1
    Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC  = 6. Tentukan panjang BC !

    Jawab :

    \(\mathrm{\frac{BC}{sin\,45^{\circ}}=\frac{6}{sin\,30^{\circ}}}\)

    BC = \(\mathrm{\frac{6\times sin\,45^{\circ}}{sin\,30^{\circ}}}\)
    BC = \(\mathrm{\frac{6\times \frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}}\)
    BC = 6√2

    Jadi, panjang BC adalah 6√2


    Contoh 2
    Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut


    Jawab :
    \(\mathrm{\frac{8}{sin\,\theta}=\frac{4\sqrt{6}}{sin\,60^{\circ}}}\)

    sin θ = \(\mathrm{\frac{8\times sin\,60^{\circ}}{4\sqrt{6}}}\)
    sin R = \(\mathrm{\frac{8\times \frac{1}{2}\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}}\) (rasionalkan)
    sin R = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)√2

    ⇒ θ = 45°

    Jadi, besar sudut θ adalah 45°


    Aturan Cosinus
    Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c, dengan C adalah sudut di depan sisi c, berlaku $$\mathrm{\mathit{c}^{2}=\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-2\mathit{ab}.cos\,C}$$ atau dapat pula ditulis $$\mathrm{cos\,C=\frac{\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-\mathit{c}^{2}}{2\mathit{ab}}}$$
    Contoh 3
    Tentukan x dari segitiga berikut !


    Jawab :
    Dengan aturan cosinus :
    x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°
    x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. \(\frac{1}{2}\)
    x2 = 28
    x = \(\sqrt{28}\) = 2√7

    Jadi, nilai x adalah 2√7


    Contoh 4
    Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika  ∠Q = θ, tentukan θ !

    Jawab :

    Dengan aturan cosinus :
    (√7)2 = (1)2 + (2√3)2 − 2. 1. 2√3. cos θ
    7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ
    4√3. cos θ = 6
    cos θ = \(\frac{6}{4\sqrt{3}}\) (rasionalkan)
    cos θ = \(\frac{1}{2}\)√3
    ⇒ θ = 30°

    atau

    cos θ = \(\frac{1^{2}+(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}{2.\,1.\,2\sqrt{3}}\)
    cos θ = \(\frac{1+12-7}{4\sqrt{3}}\)
    cos θ = \(\frac{6}{4\sqrt{3}}\) (rasionalkan)
    cos θ = \(\frac{1}{2}\)√3
    ⇒ θ = 30°


    Tips
    Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui.
    Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°.
    Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°.

    Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui atau ketiga sisi diketahui.
    Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6.
    Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.

    Latihan Soal



    Latihan 1
    Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan :
    - panjang BC
    - ∠B
    - ∠C

    Jawab :

    Dengan aturan cosinus
    BC2 = 52 + 82 − 2. 5. 8. cos 60°
    BC2 = 25 + 64 − 80. \(\frac{1}{2}\)
    BC2 = 49
    BC = 7

    Dengan aturan sinus
    \(\mathrm{\frac{7}{sin\,60^{\circ}}=\frac{5}{sin\,B}}\)
    sin B = \(\mathrm{\frac{5.\,sin\,60^{\circ}}{7}}\)
    sin B = \(\mathrm{\frac{5.\,\frac{1}{2}\sqrt{3}}{7}}\)
    sin B = 0,6186
    B = sin-1(0,6186)  (gunakan kalkulator)
    B = 38,21°

    A + B + C = 180°
    60° + 38,21° + ∠C = 180°
    C = 81,79°

    diperoleh
    - panjang BC = 7
    - ∠B = 38,21°
    - ∠C = 81,79°


    Latihan 2
    Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !

    Jawab :

    Dengan aturan cosinus :
    cos θ = \(\frac{3^{2}+5^{2}-7^{2}}{2.\,3.\,5}\)
    cos θ = \(-\frac{1}{2}\)

    Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
    θ = 180° − 60°
    θ = 120°

    sin θ = sin 120°
    sin θ = sin (180° − 60°)
    sin θ = sin 60°  (K.II sinus positif)
    sin θ = \(\frac{1}{2}\)√3

    tan θ = tan 120°
    tan θ = tan (180° − 60°)
    tan θ = −tan 60°  (K.II tangen negatif)
    tan θ = −√3


    Latihan 3
    Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh 20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah 150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...

    Jawab :
    Utara = 000°


    ∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga
    ∠BAU = ∠ABS = 30°

    ∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga
    ∠CBU + ∠CBS = 180°
    150° + ∠CBS = 180°
    ∠CBS = 30°

    Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60°

    Dengan aturan cosinus
    AC2 = 202 + 402 − 2. 20. 40. cos 60°
    AC2 = 400 + 1600 − 1600. \(\frac{1}{2}\)
    AC2 = 1200
    AC = \(\sqrt{400.\,3}\)
    AC = 20√3

    Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 20√3 mil.


    Latihan 4
    Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling segi-8 tersebut adalah...

    Jawab :

    θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°

    Perhatikan segitiga AOB
    s2 = 102 + 102 − 2. 10. 10. cos 45°
    s2 = 200 − 200. \(\frac{1}{2}\)√2
    s2 = 200 − 100√2
    s2 = 100(2 − √2)
    s = 10\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

    K = 8s
    K = 8. 10\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
    K = 80\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

    Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm.


    Latihan 5
    Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC = 5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !

    Jawab :

    ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°
    A + C = 180°
    C = 180° − A
    cos C = cos(180° − A)
    cos C = −cos A

    Perhatikan segitiga ABD
    BD2 = (3√10)2 + (2√5)2 − 2. 3√10. 2√5 cos A
    BD2 = 110 − 60√2 cos A  ......................(1)

    Perhatikan segitiga BCD
    BD2 = (6)2 + (5√2)2 − 2. 6. 5√2 cos C
    BD2 = 86 − 60√2 (−cos A)
    BD2 = 86 + 60√2 cos A  .........................(2)

    Dari persamaan (1) dan (2)
    86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A
    120√2 cos A = 24
    cos A = \(\frac{1}{5\sqrt{2}}\)

    Dari persamaan (1)
    BD2 = 110 − 60√2 cos A
    BD2 = 110 − 60√2. \(\frac{1}{5\sqrt{2}}\)
    BD2 = 98
    BD = \(\sqrt{49.\,2}\)
    BD = 7√2

    Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm