Pembahasan Soal Logaritma Mata Pelajaran Matematika

Pembahasan soal Ujian Nasional Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Logaritma yang meliputi sifat-sifat logaritma, persamaan

Pembahasan soal Ujian Nasional Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Logaritma yang meliputi sifat-sifat logaritma, persamaan logaritma dan pertidaksamaan logaritma.

Definisi Logaritma


ax = b  ⇔  x = alog b

Syarat Logaritma

 (alog b)
Basis : a > 0 ; a ≠ 1
Numerus : b > 0

Sifat-Sifat Logaritma


1.  alog 1 = 0
2.  alog a = 1
3.  alog b + alog calog (bc)
4.  alog b − alog calog \(\left ( \frac{b}{c} \right )\)
5.  alog bm = malog b
6.  \(^{a^{n}}\)log bm = \(\frac{m}{n}\) . alog b
7.  alog bblog calog c
8.  a\(\mathrm{^{^{\mathit{a}}log\,\mathit{b}}}\) = b
9.  alog b = \(\mathrm{\frac{1}{^{\mathit{b}}log\,\mathit{a}}}\)
10. alog b = \(\mathrm{\frac{\mathit{^{p}}log\,\mathit{b}}{\mathit{^{p}}log\,\mathit{a}}}\)

Persamaan Logaritma


alog b = alog c .
Solusi : b = c  ∩  syarat logaritma

Pertidaksamaan Logaritma
alog b > alog c , dengan a > 1
Solusi : b > c  ∩  syarat logaritma

alog b > alog c , dengan 0 < a < 1
Solusi : b < c  ∩  syarat logaritma

alog b < alog c , dengan a > 1
Solusi : b < c  ∩  syarat logaritma

alog b < alog c , dengan 0 < a < 1
Solusi : b > c  ∩  syarat logaritma

Pertidaksamaan Kuadrat


Misalkan pembuat nol suatu pertidaksamaan kuadrat dengan a > 0 adalah p dan q. Untuk p < q, berlaku :
  1. Jika pertidaksamaan bertanda ">", maka :$$\mathrm{HP=\left \{ x<p\;atau\;x>q \right \}}$$ 
  2. Jika pertidaksamaan bertanda "<", maka : $$\mathrm{HP=\left \{ p<x<q \right \}}$$ 

Pembahasan Soal

1.  UN 2004
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{\frac{1}{2}}log(x^{2}-8)<0}\) adalah...
A.  {x/ −2 < x < 2}
B.  {x/ −2√2 < x < 2√2}
C.  {x/ x < −3 atau x > 3}
D.  {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E.  {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}

Pembahaan :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < 0

Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2  .................... (1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < 0
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x² − 8) < \(^{\frac{1}{2}}\)log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3  ..............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3

Jawaban : C


2.  UN 2005
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \(\mathrm{2\,log\,x\leq log(2x+5)+2\,log\,2}\) adalah...
A.  \(-\frac{5}{2}\) < x ≤ 10
B.  −2 ≤ x ≤ 10
C.  0 < x ≤ 10
D.  −2 < x < 0
E.  \(-\frac{5}{2}\) ≤ x < 10

Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2

Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > \(-\frac{5}{2}\)
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10

Jawaban : C


3.  UN 2006
Nilai x yang memenuhi persamaan \(\mathrm{^{2}log\,^{2}log\left ( 2^{x+1}+3 \right )=1+\,^{2}log\,x}\) adalah...
A.  2log 3
B.  3log 2
C.  log\(\frac{2}{3}\)
D.  −1 atau 3
E.  8 atau \(\frac{1}{2}\)

Pembahasan :
2log 2log(2x+1 + 3) = 1 + 2log x

Syarat logaritma :
* 2x+1 + 3 > 0 → x ∈ R
2log(2x+1 + 3) > 0  → x ∈ R
* x > 0

Penyelesaian persamaan logaritma :
2log 2log(2x+1 + 3) = 1 + 2log x
2log 2log(2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x
2log 2log(2x+1 + 3) = 2log 2x
2log(2x+1 + 3) = 2x
22x = 2x+1 + 3
 22x − 2x+1 − 3 = 0
 (2x)2 − 2x.21 − 3 = 0

Misalkan 2x = y
 y2 − 2y − 3 = 0
(y + 1)(y − 3) = 0
y = −1 atau y = 3

2x = −1 → x ∉ R
2x = 3 ⇔ x = 2log 3

Jawaban : A


4.  UN 2006
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)}\) adalah...
A.  x > 6
B.  x > 8
C.  4 < x < 6
D.  −8 < x < 6
E.  6 < x < 8

Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)

Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4  .............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x2 + 4x − 32 < 2x + 16
x2 + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6

Jawaban : C


5.  UN 2006
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan \(\mathrm{^{3}log(5-x)+\,^{3}log(1+x)<\,^{3}log(6x-10)}\) adalah...
A.  x < −5 atau x > 3
B.  1 < x < 5
C.  \(\frac{5}{3}\) < x < 5
D.  3 < x < 5
E.   −5 < x < 3

Pembahasan :
3log(5 − x) + 3log(1 + x) < 3log(6x − 10)

Syarat logaritma :
* 5 − x > 0 → x < 5
* 1 + x > 0 → x > −1
* 6x − 10 > 0  → x > \(\frac{5}{3}\)
Irisan dari syarat diatas :
\(\frac{5}{3}\) < x < 5  ....................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
3log(5 − x) + 3log(1 + x) < 3log(6x − 10)
3log(5 − x)(1 + x) < 3log(6x − 10)
(5 − x)(1 + x) < 6x − 10
5 + 4x − x2 < 6x − 10
x2 + 2x − 15 > 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −5 atau x > 3  ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
3 < x < 5

Jawaban : D


6.  UN 2007
Jika 2log 3 = dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ...
A.  \(\frac{2}{a}\)
B.  \(\frac{2+ab}{a(1+b)}\)
C.  \(\frac{a}{2}\)
D.  \(\frac{b+1}{2ab+1}\)
E.  \(\frac{a(1+b)}{2+ab}\)

Penyelesaian :
2log 3 = a  ⇔  3log 2 = \(\frac{1}{a}\)
3log 5 = 

\(\begin{align}
\mathrm{^{15}log\,20} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red}3}}log\,20}{^{{\color{Red}3}}log\,15}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,(2^{2}\times 5)}{^{3}log\,(3\times 5)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,2^{2}+\,^{3}log\,5}{^{3}log\,3+\,^{3}log\,5}} \\
& = \mathrm{\frac{2\cdot\, ^{3}log\,2+\,^{3}log\,5}{^{3}log\,3+\,^{3}log\,5}} \\
& = \frac{2\left ( \frac{1}{a} \right )+b}{1+b}\cdot  \frac{{\color{Red} a}}{{\color{Red} a}} \\
& = \frac{2+ab}{a(1+b)}
\end{align}\)


Jawaban : B


7.  UN 2008
Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 adalah...
A.  \(\frac{a}{a+b}\)
B.  \(\frac{a+1}{a+b}\)
C.  \(\frac{a+1}{b+1}\)
D.  \(\frac{a}{a(1+b)}\)
E.  \(\frac{a+1}{a(1+b)}\)

Penyelesaian :
2log 7 = a
2log 3 = b

\(\begin{align}
\mathrm{^{6}log\,14} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red} 2}}log\,14}{^{{\color{Red} 2}}log\,6}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}log(2\times 7)}{^{2}log(2\times 3)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}log\,2\,+\,^{2}log\,7}{^{2}log\,2\,+\,^{2}log\,3}} \\
& = \frac{1+a}{1+b}
 \end{align}\)


Jawaban : C


8.  UN 2008
Akar-akar dari persamaan \(\mathrm{^{2}log^{2}x-6\,^{2}log\,x+8=\,^{2}log\,1}\) adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 =...
A.  6
B.  8
C.  10
D.  12
E.  20

Pembahasan :
2log2x − 6 2log x + 8 = 2log 1

Syarat logaritma :
x > 0 ..............................(1)

Penyelesaian persamaan logaritma :
2log2x − 6 2log x + 8 = 2log 1
(2log x)2 − 6 2log x + 8 = 0

Misalkan :  2log x = y
y2 − 6y + 8 = 0
(y − 2)(y − 4) = 0
y = 2 atau y = 4

2log x = 2 ⇔ x = 22 = 4
2log x = 4 ⇔ x = 24 = 16

x1 + x2 = 4 + 16 = 20

Jawaban : E


9.  UN 2009
Diketahui \(\mathrm{^{64}log\sqrt{16^{x-4}}=\frac{1}{2}}\). Nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
A.  −5\(\frac{1}{2}\)
B.  −4\(\frac{3}{4}\)
C.  4
D.  5\(\frac{1}{2}\)
E.  9\(\frac{1}{2}\)

Penyelesaian :
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}=\frac{1}{2}}\)

Syarat logaritma :
\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) > 0 → x ∈ R

Penyelesaian persamaan logaritma :
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
64log\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = 64log 64\(\mathrm{^{\frac{1}{2}}}\)
\(\mathrm{\sqrt{16^{x-4}}}\) = 64\(\mathrm{^{\frac{1}{2}}}\)  (kuadratkan kedua ruas)
16x-4 = 64
24(x-4) = 26
4(x − 4) = 6
4x − 16 = 6
4x = 22
x = 5\(\frac{1}{2}\)

Jawaban : D


10.  UN 2010
Nilai dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\sqrt{6}}{\left ( ^{3}log\,18 \right )^{2}-\left ( ^{3}log\,2 \right )^{2}}=...}\)
A.  \(\frac{1}{8}\)
B.  \(\frac{1}{2}\)
C.  1
D.  2
E.  8

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,18)^{2}-(^{3}log\,2)^{2}}} & =\mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,18+\,^{3}log\,2)(^{3}log\,18-\,^{3}log\,2)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{(^{3}log\,36)(^{3}log\,9)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,\sqrt{6}}{^{3}log\,36}\cdot \frac{1}{^{3}log\,9}} \\
& = \mathrm{\frac{\frac{1}{2}\cdot \,^{3}l{\color{red}\not}og\,6}{2\cdot \,^{3}l{\color{red}\not}og\,6}\cdot \frac{1}{2}} \\
& = \frac{\frac{1}{2}\cdot 1}{2\cdot 2} \\
& = \frac{1}{8}
\end{align}\)


 Jawaban : A


11.  UN 2010
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\,5\,^{\sqrt{5}}log\,9+\,^{8}log\,2}{^{2}log\,12-\,^{2}log\,3}=...}\)
A.  \(\frac{4}{6}\)
B.  \(\frac{7}{6}\)
C.  \(\frac{5}{3}\)
D.  \(\frac{13}{6}\)
E.  \(\frac{26}{6}\)

Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{3}log\,5\,.\;^{5^{\frac{1}{2}}}log\,3^{2}\,+\,^{2^{3}}log\,2}{^{2}log\left ( \frac{12}{3} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}}\,^{3}log\,5\,.^{5}log\,3\,+\,\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}{^{2}log\,2^{2}}}$$ $$\mathrm{\frac{4\,^{3}log\,3\,+\,\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}{2\,^{2}log\,2}}$$ $$\frac{4+\frac{1}{3}}{2}=\frac{13}{6}$$
Jawaban : D


12.  UN 2011
Nilai x yang memenuhi persamaan \(\mathrm{^{\frac{1}{2}}log(x^{2}-3)-\,^{\frac{1}{2}}log\,x=-1}\) adalah...
A.  x = −1 atau x = 3
B.  x = 1 atau x = −3
C.  x = 1 atau x = 3
D.  x = 1 saja
E.  x = 3 saja

Pembahasan :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x2 − 3) − \(^{\frac{1}{2}}\)log x = −1

Syarat logaritma :
* x2 − 3 > 0
* x > 0

Penyelesaian persamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{2}}\)log(x2 − 3) − \(^{\frac{1}{2}}\)log x = \(^{\frac{1}{2}}\)log (\(\frac{1}{2}\))-1
\(^{\frac{1}{2}}\)log\(\mathrm{\left ( \frac{x^{2}-3}{x} \right )}\) = \(^{\frac{1}{2}}\)log 2
\(\mathrm{\frac{x^{2}-3}{x}}\) = 2
x2 − 3 = 2x
x2 − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3

Berdasarkan syarat logaritma, maka yang memenuhi adalah x = 3

Jawaban : E


13.  UN 2012
Diketahui 3log 6 = p dan 3log 2 = q. Nilai 24log 288 = ...
A.  \(\frac{2p+3q}{p+2q}\)
B.  \(\frac{3p+2q}{p+2q}\)
C.  \(\frac{p+2q}{2p+3q}\)
D.  \(\frac{p+2q}{3p+2q}\)
E.  \(\frac{q+2p}{2p+3q}\)

Pembahasan :
3log 6 = p
3log 2 = q

\(\begin{align}
\mathrm{^{24}log\,288} & = \mathrm{\frac{^{{\color{Red} 3}}log\,288}{^{{\color{Red} 3}}log\,24}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log(2^{3}\times 6^{2})}{^{3}log(2^{2}\times 6)}} \\
& = \mathrm{\frac{^{3}log\,2^{3}+\,^{3}log\,6^{2}}{^{3}log\,2^{2}+\,^{3}log\,6}} \\
& = \mathrm{\frac{3\cdot \,^{3}log\,2\,+\,2\cdot \,^{3}log\,6}{2\cdot \,^{3}log\,2\,+\,^{3}log\,6}} \\
& = \frac{3q+2p}{2q+p}
 \end{align}\)


Jawaban : A


14.  UN 2013
Bentuk sederhana dari \(\mathrm{\frac{^{2}log^{2}\mathit{a}\,-\,^{2}log^{2}\mathit{b}}{^{2}log\,\mathit{ab}}}\) adalah...
A.  2log(\(\frac{a}{b}\))
B.  2log(ab)
C.  2log(ab)
D.  2log(a + b)
E.  2log(a + b)2

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{2}log^{2}\mathit{a}-\,^{2}log^{2}\mathit{b}}{^{2}log\,\mathit{ab}}} & = \mathrm{\frac{(^{2}log\,\mathit{a}+\,^{2}log\,\mathit{b})(^{2}log\,\mathit{a}-\,^{2}log\,\mathit{b})}{^{2}log\,\mathit{ab}}} \\
& = \mathrm{\frac{^{2}lo{\color{red}\not}g\,\mathit{ab}\cdot \,^{2}log\left ( \mathit{\frac{a}{b}} \right )}{^{2}lo{\color{red}\not}g\,\mathit{ab}}} \\
& = \mathrm{^{2}log\left ( \mathit{\frac{a}{b}} \right )}
 \end{align}\)


Jawaban : A


15.  UN 2013
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{2}log\,x+\,^{2}log(x-1)<1}\) adalah...
A.  −1 < x < 2
B.  0 < x < 1
C.  1 < x < 2
D.  1 ≤ x < 2
E.  0 < x < 2

Pembahasan :
2log x + 2log(x − 1) < 1

Syarat logaritma :
* x > 0
* x − 1 > 0 → x > 1
Irisan dari syarat diatas :
x > 1  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2log x + 2log(x − 1) < 1
2log x(x − 1) < 2log 2
x(x − 1) < 2
x2 − x − 2 < 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x = −1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 2  .......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
1 < x < 2

Jawaban : C


16.  UN 2014
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{\sqrt{2}}log\,4-\,^{5}log\,8\,.\,^{2}log\,25}{^{8}log\,14-\,^{8}log\,7}=...}\)
A.  6
B.  \(\frac{2}{3}\)
C.  \(-\frac{2}{3}\)
D.  −2
E.  −6

Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{2^{\frac{1}{2}}}log\,2^{2}\,-\,^{5}log\,2^{3}\,.\,^{2}log\,5^{2}}{^{8}log\left ( \frac{14}{7} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}}\,^{2}log\,2\,-\,3\,.\,2\,.\,^{5}log\,2\,.\,^{2}log\,5}{^{2^{3}}log\,2}}$$ $$\mathrm{\frac{4\,^{2}log\,2\,-\,6\,^{5}log\,5}{\frac{1}{3}\,^{2}log\,2}}$$ $$\frac{4-6}{\frac{1}{3}}=-6$$
Jawaban : E


17.  UN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{2}log\,x\,.\,^{x+1}log\,4<2-\,^{x+1}log\,4}\) adalah...
A.  x > \(\frac{1}{3}\)
B.  x > 1
C.  0 < x < 1
D.  0 < x < \(\frac{1}{3}\)
E.  \(\frac{1}{3}\) < x < 1

Pembahasan :
2log x . x+1log 4 < 2 − x+1log 4

Syarat logaritma :
* x > 0
* x + 1 > 0 → x > −1
* x + 1 ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2log x . x+1log 4 < 2 − x+1log 4
2log x . x+1log 4 + x+1log 4 < 2
x+1log 4 (2log x + 1) < 2
x+1log 22 (2log x + 2log 2) < 2
2 . x+1log 2 . 2log 2x < 2
2 . x+1log 2x < 2
 x+1log 2x < 1
 x+1log 2x < x+1log (x + 1)
Berdasarkan syarat logaritma (1), maka nilai basis (x + 1) akan bernilai > 1, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
2x < x + 1
x < 1  ..............................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x < 1

Jawaban : C


18.  UN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{3}log\,x\,.\,^{1-2x}log\,9<2-\,^{1-2x}log\,9}\) adalah...
A.  0 < x < \(\frac{1}{5}\)
B.  0 < x < \(\frac{2}{5}\)
C.  0 < x < \(\frac{1}{2}\)
D.  \(\frac{1}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)
E.  \(\frac{2}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)

Pembahasan :
3log x . 1-2xlog 9 < 2 − 1-2xlog 9

Syarat logaritma :
* x > 0
* 1 − 2x > 0 → x < \(\frac{1}{2}\)
* 1 − 2x ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
0 < x < \(\frac{1}{2}\)  ..........................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
3log x . 1-2xlog 9 < 2 − 1-2xlog 9
3log x . 1-2xlog 9 + 1-2xlog 9 < 2
1-2xlog 9 (3log x + 1) < 2
1-2xlog 32 (3log x + 3log 3) < 2
2 . 1-2xlog 3 . 3log 3x < 2
2 . 1-2xlog 3x < 2
1-2xlog 3x < 1
1-2xlog 3x < 1-2xlog (1 − 2x)
Berdasarkan syarat  logaritma (1), maka nilai basis (1 − 2x) akan berada pada interval 0 − 1, sehingga tanda pertidaksamaan dibalik.
3x > 1 − 2x
5x > 1
x > \(\frac{1}{5}\)  .................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
\(\frac{1}{5}\) < x < \(\frac{1}{2}\)

Jawaban : D


19.  UN 2015
Hasil dari \(\mathrm{\frac{^{3}log\sqrt{5}\,.\,^{\sqrt[3]{5}}log\,\frac{1}{3}\,+\,^{5}log\,\frac{1}{5}}{^{3}log\,\frac{1}{27}\,-\,^{3}log\,3\sqrt{3}}=...}\)
A.  \(\frac{45}{4}\)
B.  \(\frac{5}{9}\)
C.  \(\frac{1}{3}\)
D.  \(-\frac{1}{3}\)
E.  \(-\frac{5}{9}\)

Pembahasan :
$$\mathrm{\frac{^{3}log\,5^{\frac{1}{2}}\,.\,^{5^{\frac{1}{3}}}log\,3^{-1}\,+\,^{5}log\,5^{-1}}{^{3}log\,3^{-3}\,-\,^{3}log\,3^{\frac{3}{2}}}}$$ $$\mathrm{\frac{\frac{1}{2}\,.\,\frac{-1}{\frac{1}{3}}\,.\,^{3}log\,5\,.\,^{5}log\,3\,+\,(-1)^{5}log\,5}{^{3}log\,\left ( \frac{3^{-3}}{3^{\frac{3}{2}}} \right )}}$$ $$\mathrm{\frac{-\frac{3}{2}\,.\,^{3}log\,3\,-\,^{5}log\,5}{^{3}log\,3^{-\frac{9}{2}}}}$$ $$\frac{-\frac{3}{2}-1}{-\frac{9}{2}}=\frac{5}{9}$$
Jawaban : B


20.  UN 2015
Penyelesaian pertidaksamaan \(\mathrm{^{\frac{1}{4}}log(x^{2}+3x+2)>\,^{\frac{1}{4}}log(5x+5)}\) adalah...
A.  −2 < x < −1 atau x > 3
B.  x < −2 atau x > 3
C.  x < −3 atau x > 2
D.  −2 < x < 3
E.  −1 < x < 3

Pembahasan :
\(^{\frac{1}{4}}\)log(x2 + 3x + 2) > \(^{\frac{1}{4}}\)log(5x + 5)

Syarat logaritma :
* x2 + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2 atau x > −1
* 5x + 5 > 0 → x > −1
Irisan dari syarat diatas :
x > −1  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
\(^{\frac{1}{4}}\)log(x2 + 3x + 2) > \(^{\frac{1}{4}}\)log(5x + 5)
x2 + 3x + 2 < 5x + 5
x2 − 2x − 3 < 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 3  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
−1 < x < 3

Jawaban : E


21.  UN 2016
Nilai dari \(\mathrm{\left ( \frac{^{5}log\,9\,.\,^{81}log\,625\,+\,^{5}log\,125}{^{6}log\,216\,-\,^{6}log\,36} \right )^{3}=...}\)
A.  625
B.  125
C.  25
D.  −25
E.  −125

Pembahasan :
$$\mathrm{\left ( \frac{^{5}log\,3^{2}\,.\,^{3^{4}}log\,5^{4}\,+\,^{5}log\,5^{3}}{^{6}log\left ( \frac{216}{36} \right )} \right )^{3}}$$ $$\mathrm{\left ( \frac{2\,.\,\frac{4}{4}\,.\,^{5}log\,3\,.\,^{3}log\,5\,+\,3\,.\,^{5}log\,5}{^{6}log\,6} \right )^{3}}$$ $$\mathrm{\left ( \frac{2\,.\,^{5}log\,5\,+\,3\,.\,^{5}log\,5}{^{6}log\,6} \right )^{3}}$$ $$\left ( \frac{2+3}{1} \right )^{3}=125$$
Jawaban : B


22.  UN 2016
Nilai x yang memenuhi \(\mathrm{^{\frac{1}{3}}log(x+\sqrt{3})\,+\,^{\frac{1}{3}}log(x-\sqrt{3})>0}\) ...
A.  x < −√3 atau 0 < x < 2
B.  −2 < x < −√3 atau √3 < x < 2
C.  √3 < x < 2
D.  −2 < x < 2
E.  −√3 < x < 2

Pembahasan :
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3) + \(^{\frac{1}{3}}\)log(x − √3)  > 0

Syarat logaritma :
* x + √3 > 0 → x > −√3
* x − √3 > 0 → x > √3
Irisan dari syarat diatas :
x > √3  .........................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma ;
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3) + \(^{\frac{1}{3}}\)log(x − √3)  > 0
\(^{\frac{1}{3}}\)log(x + √3)(x − √3)  > \(^{\frac{1}{3}}\)log 1
(x + √3)(x − √3) < 1
x2 − 3 < 1
x2 − 4 < 0
(x + 2)(x − 2) = 0
x = −2 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−2 < x < 2  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
√3 < x < 2

Jawaban : C

23.  UN 2017
Hasil dari \(\mathrm{ \frac{^{6}log\,32\,\cdot \,^{\sqrt{8}}log\,27\,\cdot \,^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6}}{^{\sqrt{2}}log\,32\,-\,^{\sqrt{2}}log\,8}}\) adalah ...
A.  15/4
B.  15/9
C.  -15/16
D.  -15/4
E.  -5/4

Pembahasan :
Misalkan :  \(\begin{align}
\mathrm{\frac{^{6}log\,32\cdot \,^{\sqrt{8}}log\,27\cdot \,^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6}}{^{\sqrt{2}}log\,32-\,^{\sqrt{2}}log\,8}=L}
\end{align}\)


\(\begin{align} \mathrm{L} & = \mathrm{\frac{\left (^{6}log\,32 \right )\left (^{\sqrt{8}}log\,27 \right )\left (^{\frac{1}{3}}log\,6\sqrt{6} \right )}{^{\sqrt{2}}log\left ( \frac{32}{8} \right )}} \\ & = \mathrm{\frac{\left (^{6}log\,2^{5} \right )\left (^{2^{\frac{3}{2}}}log\,3^{3} \right )\left (^{3^{-1}}log\,6^{\frac{3}{2}} \right )}{^{2^{\frac{1}{2}}}log\,2^{2}}} \\ & = \mathrm{\frac{\left (5\cdot \,^{6}log\,2 \right )\left (2\cdot \,^{2}log\,3 \right )\left ( -\frac{3}{2} \cdot \,^{3}log\,6\right )}{4\cdot\,^{2}log\,2}} \\ & = \mathrm{\frac{5\cdot 2\cdot \left ( -\frac{3}{2} \right )\,^{6}log\,2\cdot \,^{2}log\,3\cdot \,^{3}log\,6}{4\cdot 1}} \\ & = \mathrm{\frac{-15\cdot\,^{6}log\,6}{4}} \\ & = -\frac{15}{4} \end{align}\)

Jawaban : D


24.  UN 2018
Jika x > 0 dan y > 0, maka \(\mathrm{\frac{3\;-\;3\,log^{2}\,xy}{1\;-\;log\,x^{3}y^{2}\;+\;2\,log\,x\sqrt{y}}=}\)
A.  3 + log xy
B.  3 log xy
C.  3 log 10xy
D.  1/3
E.  3

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{3-3\,log^{2}xy}{1-log\,x^{3}y^{2}+2\,log\,x\sqrt{y}}}&= \mathrm{\frac{3(1-log^{2}xy)}{1-(log\,x^{3}y^{2}-log\,x^{2}y)}} \\
& = \mathrm{\frac{3(1-log\,xy)(1+log\,xy)}{1-log\,xy}} \\
& = \mathrm{3(1+log\,xy)} \\
& = \mathrm{3(log\,10 +log\,xy)} \\
& = \mathrm{3\,log\,10xy}
\end{align}\)


Jawaban : C