Persamaan Garis Singgung Kurva Pelajaran Matematika

Persamaan Garis, Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik, Gradien Garis dari persamaan garis, Gradien garis yang melalui titik, Persamaan

Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\) dengan gradien m adalah : $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik \((1, 4)\) dengan m = 3 adalah
y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :
  • y = ax + b          ⇒ m = a
  • ax + by + c = 0  ⇒ m = \(\mathrm{-\frac{a}{b}}\)
    Contoh :
    1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
    2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = \(\mathrm{-\frac{6}{-2}}\) = 3

      Gradien garis yang melalui titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\) dan \(\mathrm{\left ( x_{2},y_{2} \right )}\)  adalah :
      $$\mathrm{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

      Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
      $$\mathrm{m=tan\:\alpha}$$
      Gradien Garis A dan B :
      • Sejajar : \(\mathrm{m_{A}=m_{B}}\)
      • Tegak lurus : \(\mathrm{m_{A}\cdot m_{B}=-1}\)

        Persamaan Garis Singgung Kurva

        Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\). Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$
        dengan \(\mathrm{m=f'(x_{1})}\)



        Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva


        Contoh 1
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{2}+2x}\) dititik \((1,\:3)\) adalah ...

        Jawab :
        Titik singgung : (1, 3)

        f(x) = x2 + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
        m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
        ⇒ m = 4

        PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
        y − 3 = 4(x − 1)
        y − 3 = 4x − 4
        y = 4x − 1


        Contoh 2
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=2x-3x^{2}}\) di titik dengan absis 2 adalah

        Jawab :
        Absis (x) = 2
        y = 2x − 3x2
        y = 2(2) − 3(2)2
        y = −8
        Titik singgung :  (2, −8)

        f(x) = 2x − 3x2  ⇒  f '(x) = 2 − 6x
        m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
        ⇒ m = −10

        PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah
        y − (−8) = −10(x − 2)
        y + 8 = −10x + 20
        y = −10x + 12


        Contoh 3
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=2\sqrt{x}}\) di titik dengan ordinat 2 adalah

        Jawab :
        Ordinat (y) = 2
        y  = 2√x
        2 = 2√x
        1 = √x
        x = 1
        Titik singgung : (1, 2)

        f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)
        m = f '(1) = \(\frac{1}{\sqrt{1}}\)
        ⇒ m = 1

        PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
        y − 2 = 1(x − 1)
        y − 2 = x − 1
        y = x + 1


        Contoh 4
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{2}+5}\) yang sejajar dengan garis \(\mathrm{2x-y+3=0}\) adalah

        Jawab :
        Misalkan :
        m1 = gradien garis
        m2 = gradien garis singgung

        2x − y + 3 = 0  ⇒  m1 = 2

        Sejajar : m1 = m2
        m2 = 2

        f(x) = x2 + 5   ⇒  f '(x) = 2x
        m= f '(x)
        2 = 2x
        x = 1

        y = x2 + 5
        y = (1)2 + 5
        y = 6
        Titik singgung : (1, 6)

        PGS di titik (1, 6) dengan m= 2 adalah
         6 = 2(x  1)
        y = 2x  2 + 6
        y = 2x + 4


        Contoh 5
        Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=3-x^{2}}\) yang tegak lurus terhadap garis \(\mathrm{4y=x+1}\) adalah

        Jawab :
        Misalkan :
        m1 = gradien garis
        m2 = gradien garis singgung

        4y = x + 1  ⇒  m1 = \(\frac{1}{4}\)

        Tegak lurus : m1 . m2 = −1
        \(\frac{1}{4}\) . m2 = −1
        ⇒  m= −4

        f(x) = 3 − x2  ⇒  f '(x) = −2x
        m= f '(x)
        −4 = −2x
        x = 2

        y = 3 − x2
        y = 3 − (2)2
        y = −1
        Titik singgung : (2, −1)

        PGS di titik (2, −1) dengan m2 = −4 adalah 
        y − (−1) = −4(x − 2)
        y + 1 = −4x + 8
        y = −4x + 7


        Contoh 6
        Tentukan persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=\sqrt{x}-2}\) di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !

        Jawab :
        Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0

        y = √x − 2
        0 = √x − 2
        √x = 2
        x = 4
        Titik singgung : (4, 0)

        f(x) = √x − 2  ⇒  \(\mathrm{f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)
        m = f '(4) = \(\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\)
        ⇒ m = \(\frac{1}{4}\)

        PGS di titik (4, 0) dengan m = \(\frac{1}{4}\) adalah  
        y − 0 = \(\frac{1}{4}\)(x − 4)
        y = \(\frac{1}{4}\)x − 1


        Contoh 7
        Tentukan persamaan garis normal kurva \(\mathrm{y=x^{2}}\) yang sejajar dengan garis \(\mathrm{x+4y-5=0}\) !

        Jawab :
        Garis normal adalah garis yang melalui titik singgung kurva dan tegak lurus terhadap garis singgung kurva di titik tersebut.

        Misalkan :
        m1 = gradien garis
        m2 = gradien garis singgung
        mn = gradien garis normal

        x + 4y − 5 = 0 ⇒ m1 = \(-\frac{1}{4}\)

        Diketahui garis normal sejajar dengan garis x + 4y − 5 = 0, maka :
        mn = m
        ⇒ mn = \(-\frac{1}{4}\)

        Karena garis singgung dan garis normal saling tegak lurus, maka :
        m2 .mn = −1
        m2 .\(-\frac{1}{4}\) = −1
        m2 = 4

        f(x) = x2  ⇒  f '(x) = 2x
        m2 = f '(x)
        4 = 2x
        x = 2

        y = x2
        y = (2)2
        y = 4
        Titik singgung : (2, 4)

        Persamaan garis normal adalah persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dengan \(\mathrm{m_{n}=-\frac{1}{4}}\), yaitu :
         4 = \(-\frac{1}{4}\)(x  2)
         4 = \(-\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{2}\)
        y = \(-\frac{1}{4}\)x + \(\frac{9}{2}\) atau
        x + 4y − 18 = 0


        Contoh 8
        Garis y = x memotong kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x+4}\) di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !

        Jawab :
        Misalkan :
        y1 = x2 − 4x + 4
        y2 = x

        Titik potong P dan Q :
        y1 = y2
        x2 − 4x + 4 = x
        x2 − 5x + 4 = 0
        (x − 1)(x − 4) = 0
        x = 1   x = 4

        Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :
        x = 1 ⇒ y = 1
        x = 4 ⇒ y = 4
        Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)

        f(x) = x2 − 4x + 4  ⇒  f '(x) = 2x − 4
        mP = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
        mP = −2
        mQ = f '(4) = 2(4) − 4 = 4
        mQ = 4

        PGS di titik P(1,1) dengan mP = −2 adalah 
         1 = 2(x  1)
        y = 2x + 3

        PGS di titik Q(4, 4) dengan mQ = 4  adalah
         4 = 4(x  4)
        y = 4x  12


        Contoh 9
        Tentukan persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x+6}\) yang melalui titik \((2, 1)\) !

        Jawab :
        Uji titik (2, 1)
        y = x− 4x + 6
        1 = (2)− 4(2) + 6
        1 ≠ 2
        Karena tidak memenuhi persamaan kurva, maka titik (2, 1) bukan titik singgung.

        Cari titik singgung pada kurva sehingga garis singgungnya melalui titik (2, 1).
        f(x) = x− 4x + 6   ⇒  f '(x) = 2x − 4
        m = f '(x)
        ⇒ m = 2x − 4

        Persamaan garis di titik (2, 1) dengan \(\mathrm{m = 2x − 4}\) adalah
        y − 1 = (2x − 4)(x − 2)
        y − 1 = 2x− 8x + 8
        y = 2x− 8x + 9

        Substitusi persamaan diatas ke persamaan kurva :
        2x− 8x + 9 = x− 4x + 6
        x− 4x + 3 = 0
        (x − 1)(x − 3) = 0
        x = 1   x = 3

        x = 1 ⇒  y = (1)− 4(1) + 6 = 3
        x = 3 ⇒  y = (3)− 4(3) + 6 = 3
        Titik singgung : A(1, 3) dan B(3, 3)

        f '(x) = 2x − 4
        mA = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
        mA = −2
        mB = f '(3) = 2(3) − 4 = 2
        ⇒ mB = 2

        PGS di titik A(1, 3) dengan mA = −2  adalah
        y − 3 = −2(x − 1)
        y = −2x + 5

        PGS di titik B(3, 3) dengan mB = 2 adalah
        y − 3 = 2(x − 3)
        y = 2x − 3

        Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik \((2, 1)\) dan menyinggung kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x+6}\) adalah  \(\mathrm{y = -2x + 5}\)  dan \(\mathrm{y = 2x − 3}\)


        Contoh 10
        Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

        Jawab :
        m = tan 45° = 1
        m = 1

        f(x) = √x  ⇒  f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)
        m = f '(x)
        1 = \(\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)
        2√x = 1
        √x = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
        x = \(\mathrm{\frac{1}{4}}\)

        y = √x
        y = \(\mathrm{\sqrt{\frac{1}{4}}}\)
        y = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
        Titik singgung : P\(\mathrm{\left ( \frac{1}{4}\:,\:\frac{1}{2} \right )}\)

        PGS di titik P\(\mathrm{\left ( \frac{1}{4}\:,\:\frac{1}{2} \right )}\) dengan \(\mathrm{m = 1}\) adalah
        y − \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) = 1\(\mathrm{\left ( x-\frac{1}{4} \right )}\)
        \(\mathrm{y=x+\frac{1}{4}}\)   atau  4x − 4y + 1 = 0


        Contoh 11
        Garis k menyinggung kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x-3+2a}\) di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q \((8, 2)\), tentukan nilai a !

        Jawab :
        Absis (x) = 4
        y = x− 4x − 3 + 2a
        y = (4)− 4(4) − 3 + 2a
        y = 2a − 3
        Titik singgung P(4, 2a − 3)

        Cari gradien garis singgung k :
        f(x) =  x− 4x − 3 + 2a 
        f '(x) = 2x − 4
        mk = f '(4) = 2(4) − 4
        ⇒ mk = 4

        Garis l tegak lurus garis k maka :
        ml . mk = −1
        ml . 4 = −1
        ml = \(\mathrm{-\frac{1}{4}}\)

        Ingat :
        Gradien garis yang melalui titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\) dan \(\mathrm{\left ( x_{2},y_{2} \right )}\)  adalah :
        $$\mathrm{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$
        Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :
        ⇔  ml = \(\mathrm{\frac{2-(2a-3)}{8-4}}\)
        ⇔  \(\mathrm{-\frac{1}{4}}\) = \(\mathrm{\frac{5-2a}{4}}\)
        ⇔  −1 = 5 − 2a
        ⇔  2a = 6
        ⇔  a = 3


        Contoh 12
        Jika garis \(\mathrm{x-2y=0}\) menyinggung kurva \(\mathrm{y=a-\frac{2}{x}}\) dikuadran III, tentukan nilai a !

        Jawab :
        x − 2y = 0 ⇒ m = \(\frac{1}{2}\)

        f(x) = a − \(\mathrm{\frac{2}{x}}\)  ⇒  f '(x) = \(\mathrm{\frac{2}{x^2}}\)
        m =  f '(x)
        \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{x^2}}\)
        x= 4
        x = ±2
        Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.
        ⇒  x = −2

        x − 2y = 0
        −2 − 2y = 0
        −2y = 2
        y = −1
        Titik singgung : (−2, −1)

        Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :
        y = a − \(\mathrm{\frac{2}{x}}\)
        −1 = a − \(\mathrm{\frac{2}{(-2)}}\)
        −1 = a + 1
        ⇒ a = −2


        Contoh 13
        Garis \(\mathrm{y=4x+1}\) menyinggung kurva \(\mathrm{y=ax^{2}+bx}\) di titik dengan absis 2. Tentukan nilai \(\mathrm{4a-b}\) !

        Jawab :
        Absis (x) = 2 

        y = 4x + 1
        y =4(2) + 1
        y = 9
        Titik singgung : (2, 9)

        Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :
        y = ax+ bx
        9 = a(2)+ b(2)
        4a + 2b = 9 ...................................... (1)

        y = 4x + 1  ⇒  m = 4
        f(x) = ax+ bx   ⇒   f '(x) = 2ax + b
        m = f '(2)
        4 = 2a(2) + b
        4a + b = 4  ....................................... (2)

        Eliminasi (1) dan (2) :
        4a + 2b = 9
        4a + b = 4    _
        4a + b = 5

        Dari persamaan (2) :
        4a + b = 4
        4a + 5 = 4
        4a = -1

        Jadi, 4a - b = -1 - 5 = -6