Suku Tengah dan Sisipan Barisan Aritmatika


Artikel kali ini membahas tentang suku tengah dan sisipan pada barisan aritmatika dan merupakan lanjutan dari materi sebelumnya, tentang barisan aritmatika.

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Apabila banyaknya suku barisan aritmatika ganjil, maka akan terdapat sebuah suku tepat ditengah barisan tersebut yang membagi barisan menjadi 2 bagian yang sama.

Karena berada ditengah barisan aritmatika, selanjutnya suku ini disebut suku tengah barisan aritmatika, dan biasa kita lambangkan dengan Ut.

Perhatikan barisan aritmatika berikut!
2 , 5 , 8 , 11 , 14

Jelas terlihat suku tengahnya adalah 8. Jika kita amati, suku tengah tersebut adalah setengah dari jumlah suku-suku tetangganya atau setengah dari jumlah suku pertama dengan suku terakhir.
Ut = (5 + 11)/2 = 8  atau
Ut = (2 + 14)/2 = 8

Perhatikan pula bahwa suku tengahnya berada pada suku ke-3, yaitu setengah dari banyaknya suku ditambah 1.
t = (5 + 1)/2 = 3

Kesimpulan :
Misalkan suku pertama barisan aritmatika adalah a dan suku terakhirnya adalah Un, dengan n > 1 dan n ganjil. Jika suku tengah barisan aritmatika tersebut adalah Ut, maka
\(\begin{align}
\mathrm{U_{t}=\frac{a+U_{n}}{2}}
\end{align}\)
dengan
\(\begin{align}
\mathrm{t=\frac{n+1}{2}}
\end{align}\)


 Contoh 1 
Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ... , 203
a.   Tentukan suku tengah barisan tersebut
b.   Suku ke berapakah suku tengah tersebut

Jawab :
a.   Suku tengah barisan tersebut adalah
      \(\begin{align}
\mathrm{U_{t}} & = \mathrm{\frac{a+U_{n}}{2}} \\
& = \frac{3+203}{2} \\
& = 103
\end{align}\)

b.   Berdasarkan rumus suku ke-t, maka
      Ut = a + (t - 1)b
      103 = 3 + (t - 1)4
      103 = 3 + 4t - 4
      104 = 4t
      t = 26
      Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-26


 Contoh 2 
Diketahui banyaknya suku barisan aritmatika adalah 53. Jika suku pertamanya 5 dan suku tengahnya 57, tentukan suku ke-20 !

Jawab :
Diketahui : n = 53, a = 5 dan Ut = 57
t = (n + 1)/2 = (53 + 1)/2 = 27
Jadi, U27 = 57

U27 = a + 26b
57 = 5 + 26b
52 = 26b
b = 2

Suku ke-20 adalah
U20 = a + 19b
U20 = 5 + 19(2)
U20 = 43


Sisipan Barisan Aritmatika

Misalkan diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k bilangan sedemikian sehingga terbentuk barisan aritmatika dengan beda b. Suku-suku yang terbentuk adalah sebagai berikut :

x, (x + b), (x + 2b), (x + 3b), ... , (x + kb), y

Perhatikan bahwa setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Berdasarkan hal ini, dua suku terakhir dapat kita nyatakan dalam hubungan :
(x + kb) + b = y
x + (k + 1)b = y
(k + 1)b = y - x
b = (y - x) / (k + 1)

Kesimpulan :
Jika diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k bilangan, sedemikian sehingga bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika, maka beda barisan aritmatika yang terbentuk dirumuskan
\(\begin{align}
\mathrm{b=\frac{y-x}{k+1}}
\end{align}\)

dengan banyaknya suku setelah disisipkan adalah
\(\mathrm{n=k+2}\)


 Contoh 3 
Diantara bilangan 4 dan 229 disisipkan 74 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika yang terbentuk,  kemudian tuliskan suku-suku yang mewakili barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui  x = 4,  y = 229,  dan  k = 74

Beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah
\(\begin{align}
\mathrm{b=\frac{y-x}{k+1}}=\frac{229-4}{74+1}=3
\end{align}\)

Banyaknya suku setelah disisipkan adalah
n  =  k + 2  =  74 + 2  =  76

Suku-suku barisan tersebut yaitu :
4 , 7 , 10 , 13 , ... , 229


 Contoh 4 
Tentukan banyaknya bilangan yang harus disisipkan diantara bilangan 5 dan 325 agar terbentuk barisan aritmatika dengan beda 8 !

Jawab :
Diketahui  x = 5,  y = 325,  dan  b = 8

\(\begin{align}
\mathrm{b = \frac{y-x}{k+1}}\;\;
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = \frac{y-x}{b}} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = \frac{325-5}{8}} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{k+1 = 40} \\
& \Leftrightarrow \;\;\mathrm{\;\;\;\;\;\,\,k=39}
\end{align}\)

Jadi, banyak bilangan yang harus disisipkan adalah 39 bilangan.


Misalkan disetiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika disisipkan sebanyak k bilangan sedemikian sehingga terbentuk barisan aritmatika baru dengan beda b' dan banyaknya suku n'.

Berdasarkan rumus sebelumnya, beda barisan aritmatika baru adalah
\(\begin{align}
\mathrm{b'=\frac{U_{n}-U_{n-1}}{k+1}=\frac{b}{k+1}}
\end{align}\)

Banyaknya suku sebelum disisipkan adalah n dan total suku sisipan adalah (n - 1)k. Jadi, banyaknya suku barisan aritmatika baru adalah
\(\mathrm{n' = n + (n - 1)k}\)


 Contoh 5 
Diketahui barisan aritmatika 2, 10, 18, 26. Disetiap 2 suku berurutan barisan tersebut disisipkan 3 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika baru tersebut, kemudian tuliskan suku-sukunya!

Jawab :
Diketahui : k = 3
Beda barisan aritmatika awal : b = 10 - 2 = 8
Banyak suku barisan aritmatika awal : n = 4

Beda barisan aritmatika baru adalah
\(\begin{align}
\mathrm{b' = \frac{b}{k+1}=\frac{8}{3+1}=2}
\end{align}\)

Banyak suku barisan aritmatika baru adalah
n' = n + (n - 1)k
n' = 4 + (4 - 1)3
n' = 13

Suku-suku barisan aritmatika baru :
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26