Vektor dalam Kajian Matematika


Vektor adalah segmen garis berarah yang dikarakteristikkan berdasarkan dua hal, yaitu panjang dan arahnya.

Vektor digambarkan menyerupai anak panah. Panjang anak panah merepresentasikan besar/nilai vektor, sedangkan arah anak panah merepresentasikan arah vektor.


Yang membedakan suatu vektor dengan vektor yang lain adalah panjang dan arah masing-masing vektor, bukan dimana posisi ia ditempatkan. Oleh sebab itu, vektor dapat dipindah-pindah posisinya selama panjang dan arahnya tidak diubah.


Vektor dikatakan berada pada posisi standar, jika titik pangkalnya berada pada titik asal O, seperti pada gambar dibawah.


Vektor yang titik pangkalnya berada pada titik asal O disebut juga dengan vektor posisi.


Vektor dapat menjelaskan posisi suatu titik terhadap titik lainnya, dalam hal ini adalah jarak sekaligus arah suatu titik terhadap titik lainnya.

Vektor PQ ditulis \(\mathrm{\overrightarrow{PQ}}\) adalah segmen garis berarah dengan titik pangkal P dan titik ujung Q.


Vektor PQ menginformasikan dua hal, yaitu jarak dari titik P ke titik Q dan arah titik Q dari titik P.


Dalam matematika, vektor diberikan nama dengan menggunakan huruf kecil, seperti a, b, c, u, v dan lain-lain.

Untuk membedakan vektor dengan variabel, diberikan tanda panah diatas huruf tersebut, atau bisa juga menggunakan huruf yang dicetak tebal.

\(\vec{a}\) dibaca "vektor a"
u dibaca "vektor u"
PQ dibaca "vektor PQ"



Komponen-Komponen Vektor

Vektor pada ruang dimensi dua (R2) mempunyai dua komponen standar, yaitu komponen sumbu x dan komponen sumbu y. Komponen-komponen ini dapat disajikan dalam bentuk vektor baris atau vektor kolom.

a = \(\begin{align}
[a_{1},a_{2}]
\end{align}      \)     →   vektor baris di R2

a = \(\begin{align}
\begin{bmatrix}
a_{1}\\a_{2}
\end{bmatrix}
\end{align}\)     →   vektor kolom di R2

Ketika a ditempatkan pada posisi standar, a1 merupakan titik hasil proyeksi a terhadap sumbu x, sedangkan a2 merupakan titik hasil proyeksi a terhadap sumbu y.


Vektor pada ruang dimensi tiga (R3) mempunyai tiga komponen standar, yaitu komponen sumbu x, y dan z.

b = \(\begin{align}
[b_{1},b_{2},b_{3}]
\end{align}\)     →   vektor baris di R3

b = \(\begin{align}
\begin{bmatrix}
b_{1}\\ b_{2}
\\ b_{3}
\end{bmatrix}
\end{align}\)     →   vektor kolom di R3

dimana b1 , b2 dan b3 berturut-turut adalah titik hasil proyeksi b terhadap sumbu x, y, dan z pada sistem koordinat tiga dimensi.




Panjang Vektor

Panjang a dinotasikan dengan |a|. Atau sering pula dituliskan dengan ||a|| untuk membedakannya dengan tanda mutlak.

Misalkan a = [a1 , a2] adalah suatu vektor di R2 dan = [b1 , b2 , b3] adalah suatu vektor di R3, seperti pada gambar.


Berdasarkan teorema phythagoras, maka panjang a dan b dirumuskan

|a| = \(\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}\)

|b| = \(\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}+{b_{3}}^{2}}\)


Contoh 1
Tentukan panjang vektor-vektor berikut!
u = [3 , -4]
v = [2 , 4 , -2]

Jawab :
Panjang u adalah
|u| = \(\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5\)

Panjang v adalah
|v| = \(\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{6}\)



Vektor Nol

Vektor nol dinotasikan dengan \(\vec{0}\) atau 0, yaitu suatu vektor yang panjangnya nol. Semua komponen-komponen dari vektor nol bernilai nol.

0 = [0, 0]       → vektor nol di R2
0 = [0, 0, 0]   → vektor nol di R3

Dua anak yang sedang menarik seutas tali berlawanan arah dengan gaya yang sama besar dapat kita representasikan sebagai vektor nol.




Penjumlahan Vektor

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan asalkan vektor-vektor tersebut berada pada ruang dimensi yang sama.

Secara geometris, ada dua metode yang sering digunakan pada penjumlahan vektor, yaitu metode segitiga dan metode jajar genjang.

Metode Segitiga
Tempatkan titik ujung a berhimpit dengan titik pangkal b. (tanpa mengubah panjang dan arah kedua vektor)


Jumlah atau resultan a dan b ditulis a + b adalah ruas garis berarah yang ditarik dari titik pangkal a ke titik ujung b.

Metode jajar genjang
Tempatkan titik pangkal a berhimpit dengan titik pangkal b, kemudian bentuk sebuah jajar genjang.


Jumlah a dan b ditulis a + b adalah diagonal jajar genjang yang ditarik dari titik pangkal a atau b.

Sifat-sifat pada penjumlahan vektor :
Komutatif : a + b = b + a
Asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c
Identitas : a + 0 = 0 + a = a
Invers : a + (-a) = 0

Komponen-komponen dari (a + b) diperoleh dengan cara menjumlahkan komponen-komponen yang seletak dari a dan b.

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R2.
Jika a = [a1 , a2] dan b = [b1 , b2] maka

a + b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)


Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R3.
Jika a = [a1 , aa3] dan b = [b1 , b2 , b3] maka

a + b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\ a_{2}+b_{2}\\ a_{3}+b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)


Contoh 2
Jika a = [3, -2] dan b = [4, 1], maka a + b = ...

Jawab :
a + b \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
3\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
4\\ 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
7\\ -1
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, a + b = [7, -1]


Selain dua metode diatas, kita juga mengenal sebuah metode yang sering disebut dengan metode poligon. Konsepnya hampir sama dengan metode segitiga (ujung ke pangkal). Metode ini sangat cocok digunakan pada penjumlahan lebih dari dua vektor.




Pengurangan Vektor

Pengurangan a dengan b, ditulis a - b adalah jumlah dari a dengan -b. Secara matematis,
a - b = a + (-b

dimana -b adalah invers dari b, yaitu vektor yang sama panjang namun berlawanan arah dengan b.

Gambar dibawah memperlihatkan vektor a - b yang diperoleh dengan menggunakan metode segitiga.

Vektor (a - b) juga dapat kita tentukan secara cepat dengan menarik ruas garis berarah dari titik ujung b ke titik ujung a, setelah sebelumnya titik pangkal kedua vektor ditempatkan berhimpit, seperti pada gambar berikut.

Komponen-komponen dari (a - b) diperoleh dengan cara mengurangkan komponen-komponen yang seletak dari a dan b.

Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R2.
Jika a = [a1 , a2] dan b = [b1 , b2] maka

a - b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)


Misalkan a dan b adalah vektor-vektor di R3.
Jika a = [a1 , aa3] dan b = [b1 , b2 , b3] maka

a - b \(\begin{align}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}-b_{1}\\ a_{2}-b_{2}\\ a_{3}-b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)


Contoh 3
Jika a = [3, 4, 2] dan b = [2, 0, -3], maka a - b = ...

Jawab :
a - b \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
3\\ 4
\\ 2
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2\\ 0
\\ -3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 5
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, a - b = [1, 4, 5]


Vektor Posisi

Vektor posisi adalah suatu vektor yang merepresentasikan posisi suatu titik terhadap titik asal O.

Vektor posisi dari titik P, ditulis OP menjelaskan dua hal, yaitu jarak dari P ke O dan arah P dari O.


Dari gambar diatas dapat kita lihat bahwa komponen-komponen dari OP tidak lain adalah koordinat dari titik P itu sendiri.

Jadi, vektor posisi dari titik P(x1y1) adalah
OP = [x1y1].

Vektor posisi dapat menjelaskan hubungan antara komponen-komponen suatu vektor dengan koordinat titik pangkal dan titik ujung dari vektor tersebut.

Misalkan OP = p dan OQ = q berturut-turut adalah vektor posisi dari titik P(x1y1) dan Q(x2y2).


Berdasarkan aturan segitiga, kita peroleh

PQ = q - p

Apabila kita libatkan komponen-komponennya, maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Jika P(x1y1) dan Q(x2y2) adalah titik-titik di R2, maka

PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
x_{2}\\ y_{2}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x_{1}\\ y_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}
\end{bmatrix}
\end{align}\)


Jika P(xyz1) dan Q(xyz2) adalah titik-titik di R3, maka

PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
x_{2}\\ y_{2}
\\ z_{2}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
x_{1}\\ y_{1}
\\ z_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_{2}-x_{1}\\ y_{2}-y_{1}
\\ z_{2}-z_{1}
\end{bmatrix}
\end{align}\)

dimana PQ adalah suatu vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q.


Contoh 4
Diketahui A(2, 3) , B(1, 4) dan C(5, 0) adalah titik-titik di R2. Tentukan AB dan CA.

Jawab :
AB \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
1\\ 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1\\ 1
\end{bmatrix}
\end{align}\)

CA \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
5\\ 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-3\\ 3
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, AB = [-1, 1]   dan   CA = [-3, 3]



Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian suatu vektor dengan skalar k akan menghasilkan vektor baru yang panjangnya |k| kali dari panjang vektor semula. Skalar disini tidak lain adalah bilangan real.

Jika k > 0 maka vektor yang dihasilkan akan searah dengan vektor semula, sebaliknya jika k < 0 maka vektor yang dihasilkan akan berlawanan arah dengan vektor semula.


Jika a = [a1 , a2] adalah vektor di R2 dan k adalah skalar, maka

ka \(\begin{align}=\mathrm{k}\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{k}a_{1}\\ \mathrm{k}a_{2}\end{bmatrix}\end{align}\)


Jika b = [b1 , b2 , b3] adalah vektor di R3 dan k adalah skalar, maka

kb \(\begin{align}=\mathrm{k}\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{k}b_{1}\\ \mathrm{k}b_{2}\\ \mathrm{k}b_{3}\end{bmatrix}\end{align}\)


Contoh 4
Diketahui a = [4, -6] dan b = [1, 4, 5].
Tentukan \(\frac{1}{2}\)a dan 3b

Jawab :
\(\frac{1}{2}\)a \(\begin{align}
=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
4\\ -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\\ -3
\end{bmatrix}
\end{align}\)

3b \(\begin{align}
=3\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 12
\\ 15
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, \(\frac{1}{2}\)a = [2, -3] dan 3b = [3, 12, 15]


Ketika k = -1, vektor yang dihasilkan akan sama panjang dan berlawanan arah dengan vektor semula.

Dua vektor yang sama panjang namun berlawanan arah disebut saling invers. Jadi, p dan -p adalah dua vektor yang saling invers.

Contoh lain, AB dan -AB juga merupakan dua vektor yang saling invers.


Jika kita perhatikan, -AB tidak lain adalah BA. Dapat kita tulis,

 -AB = BA   atau   AB = -BA

Jumlah dari dua vektor yang saling invers adalah vektor nol. Dalam bahasa matematika, dua vektor a dan b dikatakan saling invers jika dan hanya jika

a + b = 0



Vektor Satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari u ditulis \(\mathbf{\hat{u}}\) adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan dan searah dengan u. Vektor satuan dari u dirumuskan $$\mathbf{\hat{u}}=\frac{1}{|\mathbf{u}|}\,\mathbf{u}$$
dimana
|u| = panjang u
\(\mathbf{\hat{u}}\) = vektor satuan dari u


Contoh 5
Vektor satuan dari p = [3 , 4] adalah ...

Jawab :
p = [3, 4]    ⟶    |p| = √(32 + 42) = 5

Vektor satuan dari p adalah
\(\begin{align}
\mathbf{\hat{p}}=\frac{1}{|\mathbf{p}|}\,\mathbf{p}=\frac{1}{5}\,[3,4]=\left [ \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right ]
\end{align}\)


Apabila vektor satuan dari u, yaitu \(\mathbf{\hat{u}}\) kita kalikan dengan panjang v, yaitu |v|, maka akan diperoleh sebuah vektor yang panjangnya |v| dan searah dengan u. Vektor yang diperoleh ini tidak lain adalah v. Faktanya,

Jika u searah dengan v maka berlaku
\(\mathbf{v=|v|\,\hat{u}}\)   atau   \(\mathbf{u=|u|\,\hat{v}}\)

Jika u berlawanan arah dengan v maka berlaku
\(\mathbf{v=-|v|\,\hat{u}}\)   atau   \(\mathbf{u=-|u|\,\hat{v}}\)


Contoh 6
Tentukan sebuah vektor yang panjangnya 10 dan berlawanan arah dengan u = [3, 4].

Jawab :
Misalkan vektor yang dimaksud adalah v, dengan |v| = 10

Karena u dan v berlawanan arah, maka berlaku
\(\begin{align}
\mathbf{v}&=-|\mathbf{v}|\;\mathbf{\hat{u}}\\
&=-10\,\frac{1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\,[3,4]\\
&=-2\,[3,4]\\
&=[-6,-8]
\end{align}\)



Basis Standar

Basis standar adalah himpunan vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu koordinat pada sistem koordinat kartesius. Karena searah dengan sumbu-sumbu koordinat, vektor-vektor ini saling tegak lurus.

Basis standar di R2 dibentuk oleh vektor-vektor :
\(\hat{i}\) = [1, 0]  ➝ searah sumbu x positif
\(\hat{j}\) = [0, 1]  ➝ searah sumbu y positif

Basis standar di R3 dibentuk oleh vektor-vektor :
\(\hat{i}\) = [1, 0, 0]  ➝ searah sumbu x positif
\(\hat{j}\) = [0, 1, 0]  ➝ searah sumbu y positif
\(\hat{k}\) = [0, 0, 1]  ➝ searah sumbu z positif


Komponen-komponen vektor pada suatu ruang dimensi tertentu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari basis standar di ruang dimensi tersebut.

Misalkan u = [u1 , u2]  adalah vektor di R2
\(\begin{align}
\mathbf{u}=\begin{bmatrix}
u_{1}\\ u_{2}
\end{bmatrix}&={\color{white} 1}\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ u_{2}
\end{bmatrix}\\
&=u_{1}\begin{bmatrix}
1\\ 0
\end{bmatrix}+u_{2}\begin{bmatrix}
0\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=u_{1}\,\hat{i}+u_{2}\,\hat{j}
\end{align}\)


Misalkan v = [v1 , v2 , v3] adalah vektor di R3
\(\begin{align}
\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
v_{1}\\ v_{2}
\\ v_{3}
\end{bmatrix}&={\color{white} 1}\begin{bmatrix}
v_{1}\\ 0
\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ v_{2}
\\ 0
\end{bmatrix}+{\color{white} 1}\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ v_{3}
\end{bmatrix}\\
&=v_{1}\begin{bmatrix}
1\\ 0
\\ 0
\end{bmatrix}+v_{2}\begin{bmatrix}
0\\ 1
\\ 0
\end{bmatrix}+v_{3}\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=v_{1}\,\hat{i}+v_{2}\,\hat{j}+v_{3}\,\hat{k}
\end{align}\)


Contoh 7
Nyatakan u = 2i - 6j + 3k dalam vektor baris dan v = [1, 0, -4] dalam vektor basis!

Jawab :
u =  2i - 6j + 3k  =  [2, -6, 3]
v =  [1, 0, -4]  =  i - 4k



Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki panjang dan arah yang sama.


Dua vektor yang sama tidak harus berada pada posisi yang sama. Selama keduanya memiliki panjang dan arah yang sama, kita tulis PS = QR.

Dua vektor yang sama dapat diidentifikasi dari komponen-komponen yang seletak dari kedua vektor tersebut.

Misalkan a = [a1a2] dan b = [b1b2].

a = b   ⇔   a1b1 dan a2 = b2



Vektor-Vektor Kolinear

Dua vektor atau lebih dikatakan segaris atau kolinear (collinear) jika vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan berhimpit pada satu garis.

Dengan demikian, vektor-vektor yang sejajar juga dapat dikatakan kolinear, karena vektor-vektor yang sejajar sudah pasti dapat ditempatkan berhimpit pada satu garis.

Bangun berikut dibentuk oleh sebuah jajar genjang dan trapesium sama kaki. Coba tentukan semua vektor yang kolinear dengan AF dan ED.


Vektor-vektor yang kolinear dengan AF, yaitu
FA, EF, FE, AE, EA, BC, CB

Vektor-vektor yang kolinear dengan ED, yaitu
DE, CF, FC, AB, BA

Dalam bahasa matematika, dua vektor a dan b dikatakan kolinear jika dan hanya jika terdapat bilangan real k, dengan k ≠ 0, sedemikian sehingga berlaku
a = kb


Contoh 8
Jika u = [6, 9]  dan  v = [2, p] adalah dua vektor yang kolinear, maka p = ...

Jawab :
Karena u dan v kolinear, maka akan terdapat bilangan k sehingga berlaku
\(\begin{align}
\mathbf{u}&=k\mathbf{v}\\
\begin{bmatrix}
6\\ 9
\end{bmatrix}&=k\begin{bmatrix}
2\\ p
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
6\\ 9
\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}
2k\\ kp
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan :
6 = 2k   ⇔   k = 3
9 = kp   ⇔   9 = 3p   ⇔   p = 3



Aljabar Vektor

Vektor dapat diekspresikan dalam bentuk-bentuk aljabar, seperti (2u + 3u), 3(u - 2v) dan lain-lain.

Vektor-vektor aljabar ini dapat disederhanakan layaknya menyederhanakan persamaan linier biasa. Sebagai contoh,

2u + 3u = 5u

3(u - 2v) = 3u - 6v

Kita bisa memisalkan u = [u1 , u2] dan v = [v1 , v2] lalu membandingkan hasil ruas kiri dan ruas kanan untuk meyakinkan kita bahwa penyederhanaan seperti diatas adalah valid.


Dalam menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar vektor seperti diatas, boleh-boleh saja kita memandang u dan v sebagai variabel.

Namun, yang perlu kita ingat bahwa u dan v bukan merepresentasikan bilangan layaknya variabel, melainkan sesuatu yang memiliki nilai dan arah. Jadi, tidak semua operasi-operasi aljabar dapat diterapkan kepadanya.


Contoh 9
Jika p = 3a + 2b dan q = a - 4b, nyatakan vektor (2p - q) dalam vektor a dan b

Jawab :
\(\begin{align}
2\mathbf{p}-\mathbf{q}&=2(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})-(\mathbf{a}-4\mathbf{b})\\
&=6\mathbf{a}+4\mathbf{b}-\mathbf{a}+4\mathbf{b}\\
&=5\mathbf{a}+8\mathbf{b}
\end{align}\)

Jadi, 2p - q = 5a + 8b



Soal Latihan Vektor

Latihan 1
Diketahui trapesium sama kaki ABCD, seperti pada gambar.


Sederhanakan ekspresi-ekspresi vektor berikut!
(a)   BC + CB
(b)   AB + DA
(c)   AC - DC
(d)   AD + DB + BC
(e)   AC + BD - BC

Jawab :
\(\begin{align}
(\mathrm{a})\;\;\mathbf{BC+CB=0}
\end{align}\)


\(\begin{align}
(\mathrm{b})\;\;\mathbf{AB+DA}&=\mathbf{DA+AB}\\
&=\mathbf{DB}
\end{align}\)



\(\begin{align}
(\mathrm{c})\;\;\mathbf{AC-DC}&=\mathbf{AC+(-DC)}\\
&=\mathbf{AC+CD}\\
&=\mathbf{AD}
\end{align}\)



\(\begin{align}
(\mathrm{d})\;\;\mathbf{AD+DB+BC}&=\mathbf{(AD+DB)+BC}\\
&=\mathbf{AB+BC}\\
&=\mathbf{AC}
\end{align}\)



\(\begin{align}
(\mathrm{e})\;\;\mathbf{AC+BD-BC}&=\mathbf{AC+(-BC)+BD}\\
&=\mathbf{AC+CB+BD}\\
&=\mathbf{AB+BD}\\
&=\mathbf{AD}
\end{align}\)




Latihan 2
Bentuk persamaan vektor yang sesuai dengan diagram berikut!


Jawab :
(a)   u + v = w
(b)   p + q + r = 0



Latihan 3
Diketahui jajar genjang PQRS dengan T adalah titik potong kedua diagonalnya, seperti pada gambar. Jika PS = a dan PQ = b, nyatakan PT dan TQ dalam a dan b.


Jawab :
PT = \(\frac{1}{2}\)PR
PT = \(\frac{1}{2}\)(PS + PQ)
PT = \(\frac{1}{2}\)(a + b)

TQ = \(\frac{1}{2}\)SQ
TQ = \(\frac{1}{2}\)(PQ - PS)
TQ = \(\frac{1}{2}\)(b - a)

Jadi, PT = \(\frac{1}{2}\)(a + b)  dan  TQ = \(\frac{1}{2}\)(b - a)



Latihan 4
Diketahui a = 2i - j + 3kb = i + 4j dan c = 2j + k adalah vektor-vektor di R3. Jika v = 2a - 3b + c, tentukan v

Jawab :
\(\begin{align}
\mathbf{v}&=2\begin{bmatrix}
2\\ -1
\\ 3
\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}
1\\ 4
\\ 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 2
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
4\\ -2
\\ 6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
3\\ 12
\\ 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\\ 2
\\ 1
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
1\\ -12
\\ 7
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Jadi, v = i - 12j + 7k



Latihan 5
Jika P(-5, 3, 2) dan Q(1, 3, -6) adalah titik-titik di R3, maka panjang PQ adalah ...

Jawab :
PQ \(\begin{align}
=\begin{bmatrix}
1\\ 3
\\ -6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-5\\ 3
\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
6\\ 0
\\ -8
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Panjang PQ adalah
|PQ| \(\begin{align}
=\sqrt{6^{2}+0^{2}+(-8)^{2}}=10
\end{align}\)



Latihan 6
Jika A(-2, p, -4), B(4, 2, 4) dan C(7, 1, q) adalah titik-titik yang segaris, maka nilai p + q adalah ...

Jawab :
Karena titik A, B dan C segaris, maka AB dan BC adalah dua vektor yang kolinear. Sehingga

\(\begin{align}

\mathbf{AB}&=k\cdot \mathbf{BC}\\
\begin{bmatrix}
4\\ 2
\\ 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-2\\ p
\\ -4
\end{bmatrix}
&=k\left (\begin{bmatrix}
7\\ 1
\\ q
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
4\\ 2
\\ 4
\end{bmatrix}  \right )\\
\begin{bmatrix}
6\\ 2-p
\\ 8
\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}
3k\\ -k
\\ k(q-4)
\end{bmatrix}
 \end{align}\)

Dari persamaan vektor diatas, diperoleh
6 = 3k   ⇔   k = 2
2 - p = -k   ⇔   2 - p = -2   ⇔   p = 4
8 = k(q - 4)   ⇔   8 = 2(q - 4)   ⇔   q = 8

Jadi, p + q = 4 + 8 = 12



Latihan 7
Perhatikan diagram berikut.


Titik D membagi BC dengan perbandingan 1 : 2. Jika AB = [4, 4] dan AC = [7, 1], maka |AD| = ...

Jawab :
Berdasarkan aturan segitiga, maka
BC = AC - AB = [3, -3]

Karena BD : DC = 1 : 2, akibatnya
BD = \(\frac{1}{3}\)BC = [1, -1]

Berdasarkan aturan segitiga, maka
AD = AB + BD = [5, 3]

Jadi, panjang AD adalah
|AD| = √(52 + 32) = √34



Latihan 8
Diketahui a = [2, -4], b = [p, -2], dan c = [q, 2]. Jika a sejajar dengan b, dan b invers dari c, maka nilai p - q = ...

Jawab :
Karena a sejajar dengan b, maka terdapat skalar k sedemikian sehingga a = kb
\(\begin{align}
\begin{bmatrix}
2\\ -4
\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}
p\\ -2
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan
-4 = -2k   ⟶   k = 2
2 = kp   ⟶   2 = (2)p   ⟶   p = 1

Karena b invers dari c maka b + c = 0
\(\begin{align}
\begin{bmatrix}
p\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
q\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\ 0
\end{bmatrix}
\end{align}\)

Diperoleh persamaan
p + q = 0   ⇔   1 + q = 0   ⇔  q = -1

Jadi, p - q = 1 - (-1) = 2



Latihan 9
Dua buah vektor u dan v, dengan u = [p, q, r] dan v = [1, 4, -1]. Jika |u| = 3 dan u searah dengan v, nilai p + q - 3r = ...

Jawab :
Vektor satuan dari v adalah
\(\begin{align}
\mathbf{\hat{v}}&=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}}[1,4,-1]\\
&=\frac{1}{3\sqrt{2}}[1,4,-1]\\
&=\left [ \frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{4}{3\sqrt{2}},-\frac{1}{3\sqrt{2}} \right ]
\end{align}\)

Karena u searah dengan v maka
\(\begin{align}
\mathbf{u}&=|\mathbf{u}|\,\mathbf{\hat{v}}\\
&=3\,\left [ \frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{4}{3\sqrt{2}},-\frac{1}{3\sqrt{2}} \right ]\\
&=\left [ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{4}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right ]
\end{align}\)

Diperoleh p = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ,  q = \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) ,  r = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)

\(\begin{align}
\mathrm{p+q+3r}&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{2}}+3\left ( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right )\\
&=\frac{2}{\sqrt{2}}\\
&=\sqrt{2}
\end{align}\)